有甲.乙.丙.丁.戊5位同学,(1)若这5位同学排成一排

作者:有甲.乙.丙.丁.戊5位同学,(1)若这5位同学排成一排 来源:未知 2021-07-20   阅读:

【答案】分析:(1)根据题意,甲是特殊元素,优先分析可得甲可以站其他4个位置,共有4种站法,剩余的4人站其他4个位置,由排列数公式可得其余人的站法数目,由分步计数原理计算

【答案】分析:(1)根据题意,甲是特殊元素,优先分析可得甲可以站其他4个位置,共有4种站法,剩余的4人站其他4个位置,由排列数公式可得其余人的站法数目,由分步计数原理计算可得答案;
(2)根据题意,分3步来分析,先分析甲、乙,用捆绑法视为1个元素,再将其与戊排在一起,排好后有3个空位,最后用插空法将丙丁分别放进其中2个空位中,分别分析每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案;
(3)根据题意,分2种情况讨论,①、甲单独参加一项比赛,②、甲与其他人共同参加比赛,由分步计数原理分别计算每种情况的参赛方案数目,最后由分类计数原理,将两种情况的参赛方案数目相加即可得答案.
解答:解:(1)根据题意,甲不能站在第一位,则甲可以站其他4个位置,共有4种站法,
剩余的4人站其他4个位置,有A44=24种站法,
则甲不能站在第一位的排法有4×24=96种,
(2)根据题意,甲乙必须相邻,将甲乙视为1个元素,有2种不同的顺序,
将其与戊排在一起,有2种不同的顺序,
排好后有3个空位,将丙丁分别放进其中2个空位中,有A32=6种情况,
则甲乙必须相邻,丙丁必须不相邻的排法有2×2×6=24种;
(3)根据题意,若每项比赛至少有一人参加,每名同学必须也只能参加一项比赛,则必须有2人参加同一项比赛,
故分2种情况讨论:
①、甲单独参加一项比赛,由于甲不能参加跳舞比赛,则甲有3种选法,
对于剩余4人,先从中任取2人,有C42=6种取法,将4人分为3组,
将3组对应剩余的三项比赛,有A33=6种方法,
此时共有3×6×6=108种参赛方案,
②、甲与其他人共同参加比赛,甲只能与其余4人中的1人参加比赛,
由于甲不能参加跳舞比赛,则甲有3种选法,
剩余4人参加4项比赛,有A44=24种,
此时共有3×24=72种参赛方案,
则共有108+72=180种参赛方案.
点评:本题考查排列、组合的应用,(1)中注意优先分析特殊元素,(2)运用捆绑法与插空法来分析相邻与不相邻问题,(3)注意分类讨论的应用.

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