已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的图象在

作者:已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的图象在 来源:未知 2021-07-19   阅读:

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的图象在(2,f(2))处的切线与x轴平行.(1)求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间;(2)证明:对任意实数0<x1<x2<1,

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的图象在(2,f(2))处的切线与x轴平行.
(1)求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间;
(2)证明:对任意实数0<x1<x2<1,关于x的方程:f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0
在(x1,x2)恒有实数解
(3)结合(2)的结论,其实我们有拉格朗日中值定理:若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数,且在区间(a,b)内导数都存在,则在(a,b)内至少存在一点x0,使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
.如我们所学过的指、对数函数,正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明:
当0<a<b时,
b-a
b
<ln
b
a
b-a
a
(可不用证明函数的连续性和可导性).

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